Warum beim Kugelstoßpendel kein Chaos herrscht

14Jan08

Die meisten werden ein Kugelstoßpendel schonmal irgendwo in Aktion gesehen haben. Die erste Frage die man sich dabei wohl stellt ist: Was soll das? Die zweite wird wohl dahin gehen, dass man sich fragt, warum immer genauso viele Kugeln wegfliegen, wie man vorher ausgelenkt hat. Die zweite Frage ist wohl einfacher zu beantworten:

Es liegt an der Energieerhaltung und der Impulserhaltung.

Folgende Annahmen habe ich für den Beweis gemacht:

Kugel: Wird betrachtet als Massepunkt der Masse m

Völlig elastischer Stoß

Reibung wird vernachlässigt

x= Anzahl der Ausgelenkten Kugeln

y= Anzahl der Wegfliegenden Kugeln

x und y aus den natürlichen Zahlen

\vec{v}_{1}= Geschwindigkeit der Kugeln vor dem Stoß

\vec{v}_{2}= Geschwindigkeit der Kugeln nach dem Stoß

Wie immer in der Makrophysik müssen Energieerhaltungssatz und Impulserhaltungssatz gültig sein.

Energieerhaltung:

Energie vorher:

\displaystyle E_{v}=1/2\cdot x \cdot m\cdot \vec{v}_{1}^{2}
Energie nachher:

\displaystyle E_{n}=1/2\cdot y \cdot m\cdot\vec{v}_{2}^{2}

Energie vorher = Energie nachher

\displaystyle 1/2\cdot x \cdot m\cdot\vec{v}_{1}^{2}=1/2\cdot y \cdot m\cdot\vec{v}_{2}^{2}

\displaystyle x\cdot \vec{v}_{1}^{2}=y \cdot \vec{v}_{1}^{2} (I)

Impulserhaltung:

\vec{p}_{vorher} = \vec{p}_{nachher}

\vec{p}_{vorher}:

\displaystyle \vec{p}_{v}=x\cdot m\cdot \vec{v}_{1}

p nachher:

\displaystyle \vec{p}_{n}=y\cdot m\cdot \vec{v}_{2}

Impulserhaltung:

\vec{p}_{v}= \vec{p}_{n}

\displaystyle x \cdot m\cdot \vec{v}_{1}=y \cdot m\cdot \vec{v}_{2}

\displaystyle \vec{v}_{1}=(y/x)\cdot \vec{v}_{2} (II)

(II) in (I) eingesetzt:

\displaystyle x \cdot [(y/x) \cdot \vec{v}_{2}]^{2}=y \cdot \vec{v}_{2}^{2}

\displaystyle x \cdot y^{2} / x^{2} \cdot \vec{v}_{2}^{2}=y \cdot \vec{v}_{2}^{2}

\displaystyle x \cdot y^{2} / x^{2}=y

\displaystyle y^{2} / x=y

\displaystyle y/x=1

\displaystyle x=y

=> Es fliegen am Ende immer genauso viele Kugeln weg, wie am Anfang ausgelenkt waren.

Beachtet man nun die Reibung, stellt man fest, dass sie nur dafür sorgt, dass die Kugeln nicht ewig lange fliegen. Am eigentlichen Effekt ändert sie nichts.

ET


Filed under: Physik (allgemein)   |  7 Comments
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7 Responses to “Warum beim Kugelstoßpendel kein Chaos herrscht”  

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  1. 1 ETiTho on Februar 24, 2008 said:

    Nun sind auch alle Vektoren als Vektoren geschrieben

    Antworten
  2. 2 Felix Grebenstein on Oktober 12, 2008 said:

    Ah verstehe. Danke. Bei Wikipedia findet man dazu leider nichts gescheites.

    <>

    Ist das jetzt falsch, was da bei Wikipedia steh????

    Antworten
  3. 3 Felix Grebenstein on Oktober 12, 2008 said:

    Das steht bei Wikipedia

    Hier wurde angenommen, dass sich die angestoßenen Kugeln alle mit der gleichen Geschwindigkeit wegbewegen und die restlichen ruhen. Dass sie das tun, kann man aber bei mehr als zwei Kugeln nicht aus der Energie- und Impulserhaltung folgern.

    Denn wenn im Schwerpunktsystem l Kugeln von links mit Geschwindigkeit vl auf r Kugeln mit Geschwindigkeit vr stoßen, wobei l\,v_l+r\,v_r=0 gilt, so ist mit Energie- und Impulserhaltung verträglich, dass nach dem Stoß l Kugeln mit Geschwindigkeit vl nach rechts und r Kugeln mit Geschwindigkeit vr nach links weiterlaufen. Aber auch l Kugeln mit umgedrehter Geschwindigkeit − vl und r Kugeln mit Geschwindigkeit − vr sind möglich.

    Zur Erklärung des Verhaltens der Kugelkette muß man genauer bedenken, wie eine Stoßwelle durch die Kette hindurchläuft.

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  4. 4 Felix Grebenstein on Oktober 12, 2008 said:

    Also es könnten ja eigentlich auch, wenn drei Kugeln dagegen Stoßen, eine Kugel zurück fliegen und zwei Kugeln vom Ende weiterfliegen. Warum passiert das nicht??? Energie und Impulserhaltungssatz sprechen nicht dagegen.

    1. xxx> xxxxx -> 2.

    Dann würde der Stoß erst immer weiter nach rechts übertragen werden und dann die letzten beiden Kugeln weggestoßen werden. Dabei würde der Rückstoß sich wieder über die anderen Kugeln zurück übertragen, bis die erste Kugel sich in die Entgegengesetzte Richtung bewegt.

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  5. 5 Felix Grebenstein on Oktober 12, 2008 said:

    nochmal, weils wieder nicht geklappt hat

    1. xxx- xxxxx 2. -x xxxxx xx-

    Antworten
  6. 6 ETiTho on Oktober 13, 2008 said:

    @Felix: Ich habe deine Kommentare jetzt einfach mal so Freigegeben wie du sie geschrieben hast, auch wenn es ein bisschen Chaos ist ;)
    Ich verstehe leider grade dein Beispiel nicht ganz, ich guck mir das nochmal in Ruhe an bei Gelegenheit. Könntest du mir mal bitte den genauen Link zu deinem Wikipediazitat geben?
    Du musst auf jeden Fall aufpassen, dass der Impulserhaltungssatz vektoriell gilt. Zurückfliegende Kugeln werden eigentlich durch den Energieerhaltungssatz unmöglich gemacht, wenn ich das richtig im Kopf habe.
    Gruß
    ET

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  7. 7 Felix Grebenstein on Oktober 26, 2008 said:

    Ja, das war ein bisschen wirr.
    Hier der Wiki-Artikel:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsto%C3%9Fpendel
    Ich glaube ich kann es mir inzwischen denken wie das alles läuft.

    Gruß
    Felix

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